Hasta los genios se equivocan
Incluso Euler, uno de los más grandes, erró en una ocasión
Miguel Ángel Morales
El País
Todos, absolutamente todos, nos equivocamos en alguna ocasión. Todos hemos cometido un error en algún momento, todos hemos tenido que rectificar alguna vez (o al menos deberíamos haberlo hecho) y todos hemos pensado en alguna ocasión que nuestro argumento era correcto y al final nos hemos dado cuenta de que no era así.
Por otra parte, en todos los ámbitos del conocimiento existen figuras icónicas, ídolos, maestros, personajes que han marcado profundamente la historia y el desarrollo de dicha rama. Personas que, por su omnipresencia en ese ámbito, parecen infalibles. Pero no, ni siquiera ellos lo son.
Leonhard Euler es uno de los matemáticos más importantes e influyentes de la historia de las matemáticas. Pocos pueden siquiera acercarse a su productividad y la importancia de sus trabajos. Euler, el matemático más prolífico de la historia de las matemáticas, también se equivocó. Y de ello vamos a hablar hoy.
En el año 1637, Pierre de Fermat dejó para la posteridad una conjetura, denominada último teorema de Fermat (en adelante UTF), sobre potencias de números enteros positivos escrita en el margen de un libro que resultó ser uno de los enigmas matemáticos que más tiempo han perdurado sin demostración. Finalmente, fue Andrew Wiles, en 1995, quien le puso el cascabel al gato demostrando que el UTF era cierto.
El UTF decía básicamente lo siguiente:
Si n es un entero positivo mayor que 2, no existen números enteros positivos x, y y z tales que xn+yn=zn.
Muchos fueron los matemáticos que intentaron demostrar o refutar esta conjetura, y muchos también los que realizaron aportaciones importantes sobre la misma, entre ellos Euler.
Pero no vamos a hablar de esta conjetura, sino de otra. En 1769, en el transcurso de sus investigaciones sobre este problema, Euler propuso una conjetura que, en cierto sentido, generaliza al UTF. La conocida como conjetura de Euler podría enunciarse de esta forma:
Al igual que un cubo no puede ser suma de dos cubos (necesitaríamos al menos tres cubos), una cuarta potencia no puede ser suma de tres cuartas potencias (necesitaríamos al menos cuatro), y una quinta potencia no puede ser suma de cuatro quintas potencias (necesitaríamos al menos cinco), y, en general, una potencia de exponente n no puede ser suma de n-1 potencias de dicho exponente n.
Que una potencia 3 (un cubo) no puede ser suma de 2 potencias 3 (que es el caso n=3 del UTF) lo demostró el propio Euler; el resto del enunciado anterior es lo que conjeturó. Esto significaría que la ecuación
x4+y4+z4=s4
no tendría solución para valores enteros positivos de todas sus incógnitas. Y lo mismo pasaría con la ecuación
x5+y5+z5+t5=s5
Y, en general, con n-1 potencias de exponente n, para n mayor o igual que 4.
Así quedó la cosa, sin avances ni hacia un lado ni hacia el otro, hasta 1911. Una de las cosas que conjeturó Euler era que hacía falta sumar al menos cuatro potencias cuartas para obtener una potencia cuarta, pero no se conocía ningún ejemplo que necesitara exactamente cuatro de estas potencias. En ese año, en 1911, R. Norrie presentaba el primer ejemplo conocido:
304+1204+2724+3154=3534
por lo que podemos decir que esa (pequeña) parte de la conjetura era cierta. Después se encontraron más ejemplos como este para n=4, y para otros valores de n también se conocen ejemplos, como para n=5 (Sastry)
75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075
para n=7 (Dodrill)
1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687
o para n=8 (Scott Chase)
908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098
pero el resto de la conjetura, lo gordo, seguía igual, sin demostrarse ni refutarse…
…hasta 1966. En dicho año, L. J. Lander y T. R. Parkin publicaban el artículo A Counterexample to Euler’s Sum of Powers Conjecture, que, además de contener mucha más información sobre este tema, incluía el primer contraejemplo conocido para el caso n=5:
275+845+1105+1335=1445
¡La conjetura de Euler era falsa para n=5! Más adelante se encontraron más contraejemplos para este caso, como este de Roger Frye en 2004:
555 + 31835 + 289695 + 852825 = 853595
Pero, como hemos comentado, esto solamente resolvía parte de la conjetura, ya que, por ejemplo, el caso n=4 seguía abierto…hasta 1988, año en el que Noam Elkies encontraba un método para generar infinitos contraejemplos de la conjetura de Euler. El más pequeño de ellos es este:
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
¡La conjetura de Euler también era falsa para n=4! Y no sólo por un contraejemplo, sino por infinitos. Además, los que genera el método de Elkies no son los únicos, ya que ese mismo año 1988, siguiendo la línea de las técnicas de Elkies, Roger Frye encontraba el contraejemplo más pequeño posible para n=4:
958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814
Y pare usted de contar. No se sabe si la conjetura es cierta o falsa para n mayor o igual que 6. De hecho, para n=6 ni siquiera se conocen ejemplos (al menos que yo sepa) de seis potencias sextas cuya suma dé como resultado una potencia sexta, y lo mismo para n mayor o igual que 9. Con un ordenador potente y muuuuuuuucho tiempo podéis intentar encontrar ejemplos o contraejemplos de todos estos casos, pero la verdad es que no os lo recomiendo.
En resumen, a pesar de su enorme capacidad y su magnífica intuición para las matemáticas, Euler se equivocó con su conjetura. Bueno, en realidad hasta ahora sabemos que estaba equivocado al menos en parte (para n=4 y para n=5). Aunque nos tocará esperar para saber si también erró para el resto de valores o si, por el contrario, en esos casos estaba en lo cierto, podemos decir que Euler también falló, al menos en esta ocasión. Hasta los genios se equivocan.
Para terminar, os quiero pedir que nos habléis en los comentarios sobre otros errores relacionados con matemáticas que pudo cometer Euler o cualquier otro matemático. Seguro que será interesante conocerlos e indagar en ellos.
El País
Todos, absolutamente todos, nos equivocamos en alguna ocasión. Todos hemos cometido un error en algún momento, todos hemos tenido que rectificar alguna vez (o al menos deberíamos haberlo hecho) y todos hemos pensado en alguna ocasión que nuestro argumento era correcto y al final nos hemos dado cuenta de que no era así.
Por otra parte, en todos los ámbitos del conocimiento existen figuras icónicas, ídolos, maestros, personajes que han marcado profundamente la historia y el desarrollo de dicha rama. Personas que, por su omnipresencia en ese ámbito, parecen infalibles. Pero no, ni siquiera ellos lo son.
Leonhard Euler es uno de los matemáticos más importantes e influyentes de la historia de las matemáticas. Pocos pueden siquiera acercarse a su productividad y la importancia de sus trabajos. Euler, el matemático más prolífico de la historia de las matemáticas, también se equivocó. Y de ello vamos a hablar hoy.
En el año 1637, Pierre de Fermat dejó para la posteridad una conjetura, denominada último teorema de Fermat (en adelante UTF), sobre potencias de números enteros positivos escrita en el margen de un libro que resultó ser uno de los enigmas matemáticos que más tiempo han perdurado sin demostración. Finalmente, fue Andrew Wiles, en 1995, quien le puso el cascabel al gato demostrando que el UTF era cierto.
El UTF decía básicamente lo siguiente:
Si n es un entero positivo mayor que 2, no existen números enteros positivos x, y y z tales que xn+yn=zn.
Muchos fueron los matemáticos que intentaron demostrar o refutar esta conjetura, y muchos también los que realizaron aportaciones importantes sobre la misma, entre ellos Euler.
Pero no vamos a hablar de esta conjetura, sino de otra. En 1769, en el transcurso de sus investigaciones sobre este problema, Euler propuso una conjetura que, en cierto sentido, generaliza al UTF. La conocida como conjetura de Euler podría enunciarse de esta forma:
Al igual que un cubo no puede ser suma de dos cubos (necesitaríamos al menos tres cubos), una cuarta potencia no puede ser suma de tres cuartas potencias (necesitaríamos al menos cuatro), y una quinta potencia no puede ser suma de cuatro quintas potencias (necesitaríamos al menos cinco), y, en general, una potencia de exponente n no puede ser suma de n-1 potencias de dicho exponente n.
Que una potencia 3 (un cubo) no puede ser suma de 2 potencias 3 (que es el caso n=3 del UTF) lo demostró el propio Euler; el resto del enunciado anterior es lo que conjeturó. Esto significaría que la ecuación
x4+y4+z4=s4
no tendría solución para valores enteros positivos de todas sus incógnitas. Y lo mismo pasaría con la ecuación
x5+y5+z5+t5=s5
Y, en general, con n-1 potencias de exponente n, para n mayor o igual que 4.
Así quedó la cosa, sin avances ni hacia un lado ni hacia el otro, hasta 1911. Una de las cosas que conjeturó Euler era que hacía falta sumar al menos cuatro potencias cuartas para obtener una potencia cuarta, pero no se conocía ningún ejemplo que necesitara exactamente cuatro de estas potencias. En ese año, en 1911, R. Norrie presentaba el primer ejemplo conocido:
304+1204+2724+3154=3534
por lo que podemos decir que esa (pequeña) parte de la conjetura era cierta. Después se encontraron más ejemplos como este para n=4, y para otros valores de n también se conocen ejemplos, como para n=5 (Sastry)
75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075
para n=7 (Dodrill)
1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687
o para n=8 (Scott Chase)
908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098
pero el resto de la conjetura, lo gordo, seguía igual, sin demostrarse ni refutarse…
…hasta 1966. En dicho año, L. J. Lander y T. R. Parkin publicaban el artículo A Counterexample to Euler’s Sum of Powers Conjecture, que, además de contener mucha más información sobre este tema, incluía el primer contraejemplo conocido para el caso n=5:
275+845+1105+1335=1445
¡La conjetura de Euler era falsa para n=5! Más adelante se encontraron más contraejemplos para este caso, como este de Roger Frye en 2004:
555 + 31835 + 289695 + 852825 = 853595
Pero, como hemos comentado, esto solamente resolvía parte de la conjetura, ya que, por ejemplo, el caso n=4 seguía abierto…hasta 1988, año en el que Noam Elkies encontraba un método para generar infinitos contraejemplos de la conjetura de Euler. El más pequeño de ellos es este:
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
¡La conjetura de Euler también era falsa para n=4! Y no sólo por un contraejemplo, sino por infinitos. Además, los que genera el método de Elkies no son los únicos, ya que ese mismo año 1988, siguiendo la línea de las técnicas de Elkies, Roger Frye encontraba el contraejemplo más pequeño posible para n=4:
958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814
Y pare usted de contar. No se sabe si la conjetura es cierta o falsa para n mayor o igual que 6. De hecho, para n=6 ni siquiera se conocen ejemplos (al menos que yo sepa) de seis potencias sextas cuya suma dé como resultado una potencia sexta, y lo mismo para n mayor o igual que 9. Con un ordenador potente y muuuuuuuucho tiempo podéis intentar encontrar ejemplos o contraejemplos de todos estos casos, pero la verdad es que no os lo recomiendo.
En resumen, a pesar de su enorme capacidad y su magnífica intuición para las matemáticas, Euler se equivocó con su conjetura. Bueno, en realidad hasta ahora sabemos que estaba equivocado al menos en parte (para n=4 y para n=5). Aunque nos tocará esperar para saber si también erró para el resto de valores o si, por el contrario, en esos casos estaba en lo cierto, podemos decir que Euler también falló, al menos en esta ocasión. Hasta los genios se equivocan.
Para terminar, os quiero pedir que nos habléis en los comentarios sobre otros errores relacionados con matemáticas que pudo cometer Euler o cualquier otro matemático. Seguro que será interesante conocerlos e indagar en ellos.
